Решение имеет целые числа, когда lg(ax) и lg(x+1) равны целым числам. Это возможно, если ax и x+1 являются степенями числа 2.

Таким образом, нужно найти такие целые числа a и x, что ax = 2^n и x+1 = 2^m, где n и m - целые числа.

Решая систему уравнений, получаем x = 2^n - 1 и a = 2^(m-n).

Таким образом, если a = 2^k и x = 2^k - 1, где k - целое число, то решение будет иметь целые числа.