Для того чтобы выразить вектор a4 через данные векторы a1, a2 и a3 линейно, необходимо найти такие коэффициенты x, y и z, что:

xa1 + ya2 + z*a3 = a4

где a4 = (2; 3; 4; 1)

Подставляем значение векторов a1, a2 и a3:

x(1; 1; 1; 1) + y(-1; -1; -1; 1) + z(1; 2; 3; -4) = (2; 3; 4; 1)

Это равенство можно записать в виде системы уравнений:

x - y + z = 2
x - y + 2z = 3
x - y + 3z = 4
x + z = 1

Решая данную систему, найдем значения коэффициентов x, y, z:

Сначала выразим y и x через z из первых трех уравнений:

x = 2 - z
y = 3 - 2z
x = 4 - 3z

Подставим выражения для x и y в четвертое уравнение и найдем z:

(2 - z) + z = 1
2 = 1

Подставляем z = 1 вместо z в выражения для x и y:

x = 1, y = 1, z = -1

Итак, вектор a4 линейно выражается через векторы a1, a2 и a3 следующим образом:

1a1 + 1a2 - 1*a3 = a4

Проверим полученное выражение:

1(1; 1; 1; 1) + 1(-1; -1; -1; 1) - 1*(1; 2; 3; -4) = (1 - 1 - 1; 1 - 1 - 2; 1 - 1 - 3; 1 + 1 + 4) = (0; -2; -3; 6)

Проверка успешна, значит вектор a4 был выражен линейно через векторы a1, a2 и a3.