Для доказательства свойства биссектрисы равнобедренного треугольника воспользуемся теоремой о биссектрисе угла.

Пусть треугольник ABC - равнобедренный, то есть AC = BC. Тогда угол 1 = угол 2, так как они противолежащие равные стороны треугольника.

Предположим, что длина биссектрисы AD не равна длине биссектрисы BD. Пусть AD > BD. Тогда в треугольнике ACD угол 1 больше угла 3, так как AC > DC. А в треугольнике BCD угол 2 больше угла 4.

Но так как угол 1 = угол 2 (из равнобедренности треугольника) и угол 3 = угол 4 (углы при основании равностороннего треугольника), то получаем противоречие: углы 1 и 3 не могут быть одновременно больше углов 2 и 4.

Следовательно, длина биссектрисы AD не может быть больше длины биссектрисы BD, и они равны. Таким образом, свойство биссектрисы равнобедренного треугольника доказано.