Предположим, что на плоскости не найдется двух точек одного цвета на расстоянии 1 см друг от друга.
Заметим, что если мы разделим плоскость на квадраты со стороной 1 см, то каждое такое квадратное покрытие будет обладать тем свойством, что внутри каждого квадрата точки имеют один цвет. Но по условию в каждом квадрате должны быть точки разного цвета.
Таким образом, мы пришли к противоречию, что за 1 см мы не можем поставить две точки одного цвета. Значит такие точки обязательно найдутся.