Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Тогда из условия у нас имеется:
a^2 + b^2 = c^2
Известно, что
b = a √2
Подставим это в уравнение Пифагора:
a^2 + (a√2)^2 = c^2
a^2 + 2a^2 = c^2
3a^2 = c^2
c = a√3

Также известно, что точка O - центр вписанной окружности треугольника. Это означает, что радиус этой окружности равен полусумме сторон треугольника:
r = (a + b - c) / 2
r = (a + a√2 - a√3) / 2
r = a(1 + √2 - √3) / 2

Так как r = a / √2, то
a / √2 = a(1 + √2 - √3) / 2
1 = (1 + √2 - √3)/2
2 = 1 + √2 - √3
√2 - √3 = 1
√2 = 1 + √3
2 = 1 + 2√3 + 3
-2 = 2√3
√3 = -1

Но так как корень числа не может быть отрицательным, то данное уравнение не имеет решения.
Ответ: отношение катетов заданного треугольника найти невозможно.