Для начала найдем высоту трапеции ABCD. Обозначим высоту как h. Так как AO и OC являются высотами треугольника AOC, то из подобия треугольников AOC и ABC можно записать:

AO/AC = OC/BC

AO/(AC - BC) = OC/BC

AO/(48 - 10) = OC/10

AO/38 = OC/10

OC = 10 * AO / 38

Также, так как точка О находится на диагоналях, из подобия треугольников AOB и COD:

AO/OB = OC/OD

AO/(OB + 10) = OC/(OD - 14)

AO/(OB + 10) = (10 * AO / 38) / (OD - 14)

AO/(OB + 10) = (10 AO) / (38 (OD - 14))

OB + 10 = 38 * (OD - 14) / 10

OB + 10 = 3.8 * OD - 53.2

OB = 3.8 * OD - 63.2

Так как треугольник AOB прямоугольный, то из теоремы Пифагора:

AO^2 + OB^2 = AB^2

AO^2 + (3.8 * OD - 63.2)^2 = 10^2

AO^2 + 14.44 OD^2 - 48.16 OD + 402.56 = 100

AO^2 + 14.44 OD^2 - 48.16 OD + 302.56 = 0

Теперь можно решить полученное квадратное уравнение для нахождения значения AO.