Первый признак равенства треугольников гласит: если в двух треугольниках по одной стороне и двум прилежащим к ней углам равны соответственно, то эти треугольники равны. Мы можем доказать этот признак без использования наложения через построение.

Дано: треугольники ( ABC ) и ( A'B'C' ), такие что:

( AB = A'B' )( \angle A = \angle A' )( \angle B = \angle B' )

Построение: Начнём с точки ( A ). Отложим отрезок ( AB ) длиной ( A'B' ), получая точку ( B' ).

Из точки ( A' ) проведём угол ( \angle A' ) равный углу ( \angle A ). Из точки ( B' ) проведём угол ( \angle B' ) равный углу ( \angle B ). Пусть пересечение этих лучей обозначим как ( C' ).

По определению углов в треугольниках, у нас будут следующие углы:

( \angle ACB' = \angle A )( \angle ABC' = \angle B )

Теперь в треугольнике ( A'B'C' ) у нас есть два угла ( \angle A' ) и ( \angle B' ), и сторона ( A'B' ) равна стороне ( AB ).

Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, угол ( \angle C' ) определяется как ( \angle C' = 180° - \angle A' - \angle B' ), что дает нам то, что ( \angle C' = \angle C ).

Таким образом, все три стороны и три угла треугольников равны:

( AB = A'B' )( \angle A = \angle A' ), ( \angle B = \angle B' ), ( \angle C = \angle C' )

По критерию равенства треугольников (по двум углам и прилежащей стороне), можно заключить, что треугольники ( ABC ) и ( A'B'C' ) равны.

Таким образом, мы доказали первый признак равенства треугольников, не прибегая к наложению.