Что такое база в линейной алгебре?

База векторного пространства — это набор векторов, который удовлетворяет двум условиям:

Векторы линейно независимы.Векторы генерируют всё пространство (любой вектор из этого пространства можно выразить как линейную комбинацию базисных векторов).Как найти базу?

Определите пространство. Например, рассмотрим пространство ( \mathbb{R}^3 ) или подпространство, заданное уравнением, например: ( x + 2y + z = 0 ).

Найдите размерность пространства. Для подпространства можно использовать метод Гаусса на матрице. Например, если у вас есть набор векторов, вы можете организовать их в матрицу и использовать метод Гаусса для редукции её к ступенчатому виду. Количество ненулевых строк после редукции будет равно размерности.

Выберите линейно независимые векторы. Например, если в пространстве есть векторы ( v_1, v_2, v_3 ), и вы хотите доказать, что они линейно независимы, покажите, что единственным решением уравнения ( c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = 0 ) является ( c_1 = c_2 = c_3 = 0 ).

Сформируйте базу. Соберите линейно независимые векторы, которые генерируют всё пространство.

Пример

Рассмотрим векторы ( v_1 = (1, 0, 0) ), ( v_2 = (0, 1, 0) ), ( v_3 = (0, 0, 1) ) в ( \mathbb{R}^3 ).

Проверим линейную независимость:

Уравнение ( c_1(1, 0, 0) + c_2(0, 1, 0) + c_3(0, 0, 1) = (0, 0, 0) )Это даёт систему:
( c_1 = 0 )( c_2 = 0 )( c_3 = 0 )

Это единственное решение, значит векторы линейно независимы.

Теперь проверим, что они генерируют ( \mathbb{R}^3 ). Любой вектор ( (x, y, z) ) можно выразить как ( x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) ).

Таким образом, ( v_1, v_2, v_3 ) составляют базу ( \mathbb{R}^3 ).

Как доказать, что пространство является линейным подпространством?

Чтобы показать, что множество векторов ( W ) является линейным подпространством векторного пространства ( V ), необходимо выполнить три условия:

Ненулевой вектор. Нулевой вектор ( 0 ) должен принадлежать ( W ).

Замкнутость относительно сложения. Если ( u, v \in W ), тогда ( u + v \in W ).

Замкнутость относительно умножения на скаляр. Если ( u \in W ) и ( c ) — скаляр, тогда ( cu \in W ).

Пример

Пусть ( W = { (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0 } ).

Нулевой вектор: Проверим, что ( (0, 0, 0) \in W ). Действительно, ( 0 + 0 + 0 = 0 ).

Сложение: Пусть ( u = (x_1, y_1, z_1) \in W ) и ( v = (x_2, y_2, z_2) \in W ). Это значит, что ( x_1 + y_1 + z_1 = 0 ) и ( x_2 + y_2 + z_2 = 0 ).
Тогда,
[
(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) + (z_1 + z_2) = (x_1 + y_1 + z_1) + (x_2 + y_2 + z_2) = 0 + 0 = 0.
]
Значит, ( u + v \in W ).

Умножение на скаляр: Пусть ( u = (x, y, z) \in W ) и ( c ) — скаляр. Тогда,
[
c(x + y + z) = c \cdot 0 = 0.
]
Значит, ( cu \in W ).

Итак, ( W ) является линейным подпространством ( \mathbb{R}^3 ).