Чтобы найти область определения функции $y=\frac{x^3-2x^2+1}{x^2-1}$, необходимо определить, при каких значениях $x$ функция будет определена, то есть необходимо, чтобы знаменатель не равнялся нулю.

Знаменатель:
$$x^2-1=0$$ Решим это уравнение:
$$x^2=1⟹x=1\text{или}x=-1$$

Таким образом, функция не определена при $x=1$ и $x=-1$.

Область определения:
Область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=1$ и $x=-1$:
$$D=\mathbb{R}\setminus -1,1$$

График функции:
Для построения графика функции необходимо определить её поведение. В частности, найти:

Нули функции: $x^3-2x^2+1=0$Вертикальные асимптоты $вданномслучае,вточках(x=1)и(x=-1)$Горизонтальные асимптоты $еслиониесть$Поведение функции на промежутках между асимптотами.

Нули функции:
Найдем нули числителя:
$$x^3-2x^2+1=0$$ Решение этого уравнения может потребовать численных методов или графического подхода. Однако, мы можем оценить, что один из корней находится между 0 и 1.

Асимптоты:

Вертикальные асимптоты: $x=-1$ и $x=1$Горизонтальные асимптоты: ведем исследование предела при $x\to \pm \infty$:
$$\lim <em>x\to \pm \infty y=\lim </em>x\to \pm \infty \frac{x^3}{x^2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }x=\pm \infty$$ То есть, горизонтальных асимптот нет.

График:
График функции можно нарисовать с помощью графопостроительных программ или вручную, используя найденные особенности $асимптоты,нули$.

Описание графика:

Функция не определена в двух точках: $x=-1$ и $x=1$.Функция стремится к $+\infty$ при приближении к вертикальным асимптотам $x=-1$ и $x=1$ с разных сторон.У функции есть по меньшей мере один корень между 0 и 1.Область определения выражается как все действительные числа, кроме $-1$ и $1$.

Для более точного анализа и построения графика вам, возможно, понадобится использовать графический калькулятор или специализированное программное обеспечение $например,Desmos,GeoGebraит.д.$.