Для анализа уравнения ( x^2 + 4xy + 4y^2 = 0 ) начнем с его преобразования. Уравнение можно переписать в следующем виде:

[
x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2 = 0.
]

Это уравнение имеет единственное решение, так как квадрат выражения равен нулю только в одной точке:

[
x + 2y = 0 \implies x = -2y.
]

Таким образом, уравнение описывает прямую линию в координатной плоскости. Так как у нас есть один параметр ( y ), мы можем выразить ( x ) через ( y ):

[
y = t \implies x = -2t,
]

где ( t ) — произвольное действительное число.

Это значит, что на координатной плоскости у нас получится прямая линия, проходящая через начало координат с наклоном (-2) (поскольку ( x = -2y )).

Следовательно, множество всех точек ((x, y)), удовлетворяющих данному уравнению, — это прямая на плоскости ОХУ, заданная уравнением ( x + 2y = 0 ).