Решим каждую задачу по отдельности.

Биссектрису тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2:3. Обозначим стороны параллелограмма как (a) и (b). Поскольку периметр параллелограмма равен 96, мы имеем:

[
2(a + b) = 96 \quad \Rightarrow \quad a + b = 48.
]

Пусть угол (A) - тупой угол. Биссектрису разделяет сторону (BC) на части (m) и (n), такие что (m:n = 2:3). Тогда можем обозначить (m = 2k) и (n = 3k). В этом случае:

[
m + n = BC \quad \Rightarrow \quad 2k + 3k = 5k.
]

В соответствии с тем, что (m+n) (или (BC)) также пропорционально отношениям сторон. Мы знаем, что для параллелограмма биссектрисы тупого угла имеет вид:

[
\frac{a}{b} = \frac{m}{n} = \frac{2}{3}.
]

Таким образом:

[
\frac{a}{b} = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{2}{3}b.
]

Подставив это значение в уравнение для периметра:

[
\frac{2}{3}b + b = 48 \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{3}b = 48 \quad \Rightarrow \quad b = 48 \times \frac{3}{5} = 28.8.
]

Теперь найдем значение (a):

[
a = \frac{2}{3} b = \frac{2}{3} \cdot 28.8 = 19.2.
]

Таким образом, большая сторона параллелограмма равна (b = 28.8).

В прямоугольнике (ABCD) сторона (AB = 12) см, угол (AVD = 60^\circ). Найдем диагональ (AC).

Используем теорему косинусов:

[
AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(\angle AVD).
]

Сначала найдем длину стороны (AD) по Пифагору, так как (AB \perp AD):

[
AC^2 = AB^2 + AD^2 = 12^2 + AD^2.
]

В этом случае использовать коэффициенты нам не подходит. Используем прямую формулу для нахождения диагонали (AC) через треугольник (ABD):

[
AC = \sqrt{AB^2 + AD^2}.
]

В треугольнике (ABD) первый улучшенный способ показывает:

[
AC = \sqrt{12^2 + 12\sqrt{3}^2} = \sqrt{144 + 108} = \sqrt{252} = 6\sqrt{7}.
]
Как приблизительно так:

[
AC \approx 15.49 см.
]

В трапеции (ABCD) основание (AD) образует с боковыми сторонами (AB) и (CD) углы (70^\circ) и (40^\circ). Остальные углы равны:

[
\angle ABC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ,
]

[
\angle BCD = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ.
]

Таким образом, остальные углы трапеции:

(\angle ABC = 110^\circ) и (\angle BCD = 140^\circ).

Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Пусть одна сторона равна (a), тогда диагональ будет равна (2a).

Используем теорему Пифагора:

[
AC^2 = AB^2 + AD^2 \quad \Rightarrow \quad (2a)^2 = a^2 + b^2.
]

Тогда пусть другая сторона будет равна (b). Подставляем:

[
4a^2 = a^2 + b^2 \quad \Rightarrow \quad 3a^2 = b^2 \quad \Rightarrow \quad b = a\sqrt{3}.
]

Теперь найдем углы, образованные диагональю с сторонами:

[
\cos(\angle A) = \frac{AB}{AC} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \angle A = 60^\circ.
]

Таким образом, меньший из углов, образованный диагональю со сторонами, равен (30^\circ) и (60^\circ).

Теперь у нас есть решения для всех задач.