Давайте сначала найдем координаты точки $A_1$, используя симметрию относительно начала координат. Если $A(x,y,z)$, то её симметричная точка будет $A_1(-x,-y,-z)$.

Для точки $A(3;0;-8)$ получаем:
$$A_1(-3;0;8).$$

Теперь рассмотрим точки $B(4;-2;5)$ и $C_1(-3;-12;3)$. Нам нужно найти векторы $A_{1}B$ и $B_{1}C$.

Вектор $A_{1}B$ вычисляется как:
$$A_{1}B=B-A_1=(4-(-3),-2-0,5-8)=(4+3,-2,5-8)=(7,-2,-3).$$

Найдём квадрат нормы этого вектора:
$$|A_{1}B{|}^2=7^2+(-2{)}^2+(-3{)}^2=49+4+9=62.$$

Теперь вычислим вектор $B_{1}C$. Сначала найдем $B_1$:
$$B_1(-4;2;-5).$$ Теперь вектор:
$$B_{1}C=C-B_1=(-3-(-4),-12-2,3-(-5))=(-3+4,-12-2,3+5)=(1,-14,8).$$

Теперь найдем квадрат нормы этого вектора:
$$|B_{1}C{|}^2=1^2+(-14{)}^2+8^2=1+196+64=261.$$

Итак, мы рассчитали:
$$|A_{1}B{|}^2=62,$$ $$|B_{1}C{|}^2=261.$$

Теперь найдём разность:
$$|A_{1}B{|}^2-|B_{1}C{|}^2=62-261=-199.$$

Ответ: $-199$.