Существует ли придел? Существует ли lim(x*sgn(x-1)), при x стремящемся к 1? Где sgn(x)={1 при х>0; 0 при х=0; -1 при х<0}
Существует ли придел? Существует ли lim(x*sgn(x-1)), при x стремящемся к 1? Где sgn(x)={1 при х>0; 0 при х=0; -1 при х<0}
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Чтобы найти предел функции limx→1(x⋅sgn(x−1)) \lim_{x \to 1} (x \cdot \text{sgn}(x - 1)) limx→1 (x⋅sgn(x−1)), давайте сначала разберёмся, что такое функция sgn(x−1) \text{sgn}(x - 1) sgn(x−1).
Функция знака определена как:
sgn(x−1)=1 \text{sgn}(x - 1) = 1 sgn(x−1)=1 при ( x > 1 )sgn(x−1)=0 \text{sgn}(x - 1) = 0 sgn(x−1)=0 при x=1 x = 1 x=1sgn(x−1)=−1 \text{sgn}(x - 1) = -1 sgn(x−1)=−1 при ( x < 1 )Теперь рассмотрим предел с разных сторон:
Слева от 1 (x→1−) ( x \to 1^- ) (x→1−):
При ( x < 1 ) мы имеем sgn(x−1)=−1 \text{sgn}(x - 1) = -1 sgn(x−1)=−1.Таким образом, x⋅sgn(x−1)=x⋅(−1)=−x x \cdot \text{sgn}(x - 1) = x \cdot (-1) = -x x⋅sgn(x−1)=x⋅(−1)=−x.Предел будет:lim<em>x→1−(x⋅sgn(x−1))=lim</em>x→1−(−x)=−1. \lim<em>{x \to 1^-} (x \cdot \text{sgn}(x - 1)) = \lim</em>{x \to 1^-} (-x) = -1.
lim<em>x→1−(x⋅sgn(x−1))=lim</em>x→1−(−x)=−1.
Справа от 1 (x→1+) ( x \to 1^+ ) (x→1+):
При ( x > 1 ) мы имеем sgn(x−1)=1 \text{sgn}(x - 1) = 1 sgn(x−1)=1.Таким образом, x⋅sgn(x−1)=x⋅1=x x \cdot \text{sgn}(x - 1) = x \cdot 1 = x x⋅sgn(x−1)=x⋅1=x.Предел будет:lim<em>x→1+(x⋅sgn(x−1))=lim</em>x→1+x=1. \lim<em>{x \to 1^+} (x \cdot \text{sgn}(x - 1)) = \lim</em>{x \to 1^+} x = 1.
lim<em>x→1+(x⋅sgn(x−1))=lim</em>x→1+x=1.
Теперь мы видим, что:
limx→1−(x⋅sgn(x−1))=−1 \lim_{x \to 1^-} (x \cdot \text{sgn}(x - 1)) = -1 limx→1− (x⋅sgn(x−1))=−1limx→1+(x⋅sgn(x−1))=1 \lim_{x \to 1^+} (x \cdot \text{sgn}(x - 1)) = 1 limx→1+ (x⋅sgn(x−1))=1Так как пределы слева и справа не равны, предел limx→1(x⋅sgn(x−1)) \lim_{x \to 1} (x \cdot \text{sgn}(x - 1)) limx→1 (x⋅sgn(x−1)) не существует.