Давайте обозначим сторону вписанного квадрата как $x$.

Для нахождения стороны квадрата мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника и конструкцию квадрата, вписанного в него. Предположим, что равнобедренный треугольник имеет два катета $a$ и гипотенузу $c=24$ см.

Сначала найдем длину катетов. Поскольку треугольник равнобедренный, по теореме Пифагора можем записать:

$$c^2=a^2+a^2⟹24^2=2a^2$$ $$576=2a^2⟹a^2=288⟹a=\sqrt{288}=12\sqrt{2}\text{см}$$

Теперь, чтобы найти сторону квадрата $x$, мы можем использовать следующее соотношение для вписанного квадрата в равнобедренный треугольник:

$$x=\frac{a^2}{a+h}$$

где $h$ — высота треугольника. Высоту $h$ равнобедренного треугольника можно найти через катеты:

$$h=\sqrt{c^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{24^2-{\left(12\sqrt{2}/2\right)}^2}=\sqrt{576-72}=\sqrt{504}=12\sqrt{7}$$

Подставим значение $a=12\sqrt{2}$ и $h=12\sqrt{7}$:

$$x=\frac{(12\sqrt{2}{)}^2}{12\sqrt{2}+12\sqrt{7}}=\frac{288}{12(\sqrt{2}+\sqrt{7})}=\frac{24}{\sqrt{2}+\sqrt{7}}$$

После умножения числителя и знаменателя на $\sqrt{2}-\sqrt{7}$ получаем:

$$x=\frac{24(\sqrt{2}-\sqrt{7})}{(\sqrt{2}+\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{7})}=\frac{24(\sqrt{2}-\sqrt{7})}{2-7}=\frac{24(\sqrt{2}-\sqrt{7})}{-5}=-\frac{24(\sqrt{2}-\sqrt{7})}{5}$$

Таким образом, сторона квадрата $x=\frac{24(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{5}$.

Подведем итог: сторона квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с гипотенузой 24 см, равна $\frac{24(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{5}\approx 4.78$ см $еслиподставить(\sqrt{7}\approx 2.64575)и(\sqrt{2}\approx 1.41421)$.