Для решения задачи, дано, что $P$ - периметр треугольника $ABC$ и равен 52. Поскольку $AM=BM$, $BN=NC$, $AK=CK$, это говорит о том, что точки $M$, $N$, $K$ являются серединами соответствующих сторон.

Обозначим стороны треугольника $ABC$:
$AB=c$$BC=a$$CA=b$

Согласно заданному, периметр треугольника равен:
$$P=AB+BC+CA=a+b+c=52$$

Теперь мы рассмотрим точки:

$M$ - середина $AB$ $тоесть(AM=MB=\frac{c}{2})$$N$ - середина $BC$ $тоесть(BN=NC=\frac{a}{2})$$K$ - середина $CA$ $тоесть(AK=KC=\frac{b}{2})$

Теперь найдем периметр треугольника $MNK$:
$$MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$$ $$NK=\frac{1}{2}CA=\frac{1}{2}b$$ $$KM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}c$$

Сложим их, чтобы найти периметр треугольника $MNK$:
$$P_{MNK}=MN+NK+KM=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c$$

Учитывая, что $a+b+c=52$, мы можем выразить периметр треугольника $MNK$:
$$P_{MNK}=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}\cdot 52=26$$

Таким образом, периметр треугольника $MNK$ равен $26$.