Для доказательства того, что точка $B_1$ лежит в плоскости $CD{A}_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$, следует рассмотреть расположение всех точек.

Определим точки параллелепипеда:

Определим плоскость $CD{A}_1$:
Плоскость образована тремя точками: $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ и $A_1(0,0,1)$.
Чтобы найти уравнение этой плоскости, можем рассмотреть векторы:
$$CD=D-C=(0,1,0)-(1,1,0)=(-1,0,0)$$ $$C{A}_1=A_1-C=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)$$

Теперь найдем нормальный вектор плоскости $CD{A}_1$ с помощью векторного произведения:
n⃗=CD⃗×CA1⃗=∣i^amp;j^amp;k^ −1amp;0amp;0 −1amp;−1amp;1∣=i^(0⋅1−0⋅(−1))−j^(−1⋅1−0⋅−1)+k^(−1⋅−1−0⋅−1)=i^(0)−j^(−1)+k^(1)=j^+k^ \vec{n} = \vec{CD} \times \vec{CA_1} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
-1 & 0 & 0 \
-1 & -1 & 1
\end{vmatrix}
= \hat{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - \hat{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot -1) + \hat{k}(-1 \cdot -1 - 0 \cdot -1)
= \hat{i}(0) - \hat{j}(-1) + \hat{k}(1)
= \hat{j} + \hat{k}
n=CD×CA1 = i^ amp;j^ amp;k^ −1 amp;0 amp;0 −1 amp;−1 amp;1 =i^(0⋅1−0⋅(−1))−j^ (−1⋅1−0⋅−1)+k^(−1⋅−1−0⋅−1)=i^(0)−j^ (−1)+k^(1)=j^ +k^ Следовательно, нормальный вектор $n=(0,1,1)$.

Уравнение плоскости:
С учетом нормального вектора, плоскость может быть описана уравнением:
$$n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0,$$ где $(x_0,y_0,z_0)$ - координаты одной из точек, например $C(1,1,0)$:
$$0(x-1)+1(y-1)+1(z-0)=0,$$ или
$$y+z-1=0\Rightarrow y+z=1.$$

Проверим точку $B_1$:
Теперь подставим координаты точки $B_1(1,0,1)$ в уравнение плоскости:
$$0+1=1.$$ Это уравнение выполняется, что значит $B_1$ лежит в плоскости $CD{A}_1$.

Таким образом, мы доказали, что точка $B_1$ принадлежит плоскости $CD{A}_1$.

Для доказательства того, что точка $B_1$ лежит в плоскости $CD{A}_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$, следует рассмотреть расположение всех точек.

Определим точки параллелепипеда:

Пусть $A(0,0,0)$$B(1,0,0)$$C(1,1,0)$$D(0,1,0)$$A_1(0,0,1)$$B_1(1,0,1)$$C_1(1,1,1)$$D_1(0,1,1)$

Определим плоскость $CD{A}_1$:

Плоскость образована тремя точками: $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ и $A_1(0,0,1)$.

Чтобы найти уравнение этой плоскости, можем рассмотреть векторы:

$$</p><p>CD=D-C=(0,1,0)-(1,1,0)=(-1,0,0)</p><p>$$

$$</p><p>C{A}_1=A_1-C=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)</p><p>$$

Теперь найдем нормальный вектор плоскости $CD{A}_1$ с помощью векторного произведения:

[

\vec{n} = \vec{CD} \times \vec{CA_1} =

\begin{vmatrix}

\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \

-1 & 0 & 0 \

-1 & -1 & 1

\end{vmatrix}

= \hat{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - \hat{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot -1) + \hat{k}(-1 \cdot -1 - 0 \cdot -1)

= \hat{i}(0) - \hat{j}(-1) + \hat{k}(1)

= \hat{j} + \hat{k}

]

Следовательно, нормальный вектор $n=(0,1,1)$.

Уравнение плоскости:

С учетом нормального вектора, плоскость может быть описана уравнением:

$$</p><p>n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0,</p><p>$$

где $(x_0,y_0,z_0)$ - координаты одной из точек, например $C(1,1,0)$:

$$</p><p>0(x-1)+1(y-1)+1(z-0)=0,</p><p>$$

или

$$</p><p>y+z-1=0\Rightarrow y+z=1.</p><p>$$

Проверим точку $B_1$:

Теперь подставим координаты точки $B_1(1,0,1)$ в уравнение плоскости:

$$</p><p>0+1=1.</p><p>$$

Это уравнение выполняется, что значит $B_1$ лежит в плоскости $CD{A}_1$.

Таким образом, мы доказали, что точка $B_1$ принадлежит плоскости $CD{A}_1$.