Чтобы посчитать количество различных квадратов, стороны которых идут по линиям сетки квадрата 6x6, нужно учитывать разные размеры квадратов и их возможные позиции.

Квадраты размером 1x1:

Количество: (5 \times 5 = 25) (можно поместить в каждой из 5 строк и 5 столбцов).

Квадраты размером 2x2:

Количество: (4 \times 4 = 16).

Квадраты размером 3x3:

Количество: (3 \times 3 = 9).

Квадраты размером 4x4:

Количество: (2 \times 2 = 4).

Квадраты размером 5x5:

Количество: (1 \times 1 = 1).

Теперь сложим все найденные количества:
[
25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 55.
]

Таким образом, существует 55 различных квадратов, стороны которых идут по линиям сетки квадрата 6x6.