Для решения задачи начнем с информации о углах на окружности.

Итак, у нас есть окружность с центром O и отмечены точки A, B, C, D, E, F следующим образом:

AF – диаметр.

Из условия задачи известны следующие углы:

угол AOC = 84°угол BOD = 80°угол COE = 84°угол DOF = 60°

Воспользуемся тем, что сумма углов вокруг точки O равна 360°. Это можно записать в виде:
[
\angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle DOE + \angle EOF + \angle FOA = 360°
]

Каждый из этих углов можно выразить через известные данные. Заметим, что угол, который опирается на диаметр (AF), равен 90°. Таким образом,
[
\angle AOB + \angle COD + \angle EOF = 180°
]

Теперь мы можем найти недостающие углы.

Угол AOB: Его можно выразить через угол AOC, особенно если учитывать, что угол AOB и угол COD являются "соседями". То есть:
[
\angle AOB = 180° - \angle AOC = 180° - 84° = 96°
]

Угол BOC можно найти через угол BOD:
[
\angle BOC = 180° - \angle BOD = 180° - 80° = 100°
]

Угол DOE:
[
\angle DOE = 60°
]

Теперь можно выразить угол BOE через оставшиеся. Угол BOE можно выразить как:
[
\angle BOE = \angle BOC + \angle COE
]
где мы уже нашли угол BOC и известен угол COE:
[
\angle COE = 84°
]
Таким образом:
[
\angle BOE = \angle BOC + \angle COE = 100° + 84° = 184°
]

Таким образом, угол BOE равен 184°.