Для определения интервалов монотонности функции $Y=x^3-3x^2-24x+72$ необходимо сначала найти ее производную и затем анализировать ее знак.

Найдем производную функции:
$$Y^{\prime }=\frac{dY}{dx}=3x^2-6x-24$$

Пусть производная равна нулю, найдем критические точки:
$$3x^2-6x-24=0$$ Делим уравнение на 3:
$$x^2-2x-8=0$$ Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1}$$ $$x=\frac{2\pm \sqrt{4+32}}{2}=\frac{2\pm \sqrt{36}}{2}=\frac{2\pm 6}{2}$$ Таким образом, получаем два корня:
$$x_1=\frac{8}{2}=4,x_2=\frac{-4}{2}=-2$$

Определим интервалы для анализа знака производной:
Мы имеем три интервала: $(-\infty ,-2)$, $(-2,4)$, $(4,+\infty )$.

Проверим знак производной в каждом интервале:

Для ( x < -2 ) $например,(x=-3)$:
[
Y'(-3) = 3(-3)^2 - 6(-3) - 24 = 27 + 18 - 24 = 21 > 0
]
$функциявозрастает$

Для ( -2 < x < 4 ) $например,(x=0)$:
[
Y'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 24 = -24 < 0
]
$функцияубывает$

Для ( x > 4 ) $например,(x=5)$:
[
Y'(5) = 3(5)^2 - 6(5) - 24 = 75 - 30 - 24 = 21 > 0
]
$функциявозрастает$

Вывод:

Интервал $(-\infty ,-2)$: функция возрастает.Интервал $(-2,4)$: функция убывает.Интервал $(4,+\infty )$: функция возрастает.

Таким образом, интервалы монотонности функции:

Возрастает на $(-\infty ,-2)$ и $(4,+\infty )$Убывает на $(-2,4)$