Для решения задачи нам нужно использовать свойства биссектрисы и сумму углов.

Дано:

Угол ( \angle BOD = 52^\circ ).Прямая ( OK ) является биссектрисой угла ( AOD ).

Угол ( AOB ) и угол ( AOD ) добавляют к углу ( BOD ), а так как прямые ( A ) и ( B ) лежат на одной прямой (AB), то:
[
\angle AOB + \angle BOD + \angle AOD = 180^\circ.
]

Обозначим угол ( AOB ) как ( x ). Тогда угол ( AOD ) можно выразить как:
[
\angle AOD = 180^\circ - x - 52^\circ = 128^\circ - x.
]

Поскольку ( OK ) – биссектрисa угла ( AOD ), то:
[
\angle AOK = \frac{1}{2} \angle AOD = \frac{1}{2}(128^\circ - x) = 64^\circ - \frac{x}{2}.
]

Теперь рассчитаем угол ( DOK ). У нас имеется угол ( DOK ):
[
\angle DOK = \angle AOD - \angle AOK,
]
где ( \angle AOD = 128^\circ - x ) и ( \angle AOK = 64^\circ - \frac{x}{2} ):
[
\angle DOK = (128^\circ - x) - (64^\circ - \frac{x}{2}).
]
Упрощая это выражение, получим:
[
\angle DOK = 128^\circ - x - 64^\circ + \frac{x}{2} = 64^\circ - \frac{x}{2}.
]

Чтобы найти угол ( x ), заметим, что весь угол ( AOB ) равен ( x ), и тогда угол ( DOK ) можно выразить через угол ( \angle BOD ):
[
x + 52^\circ + (128^\circ - x) = 180^\circ,
]
что дает:
[
52^\circ + 128^\circ = 180^\circ,
]
что верно. Мы знаем, что ( \angle DOK = 64^\circ - \frac{x}{2} ).

Так как ( BOD = 52^\circ ) и знать второй угол, который мы пока не определили, можем использовать:
[
x = \angle AOB = 52^\circ \Rightarrow DOK = 64^\circ - \frac{52^\circ}{2} = 64^\circ - 26^\circ = 38^\circ.
]

Таким образом, угол ( DOK ) равен ( 38^\circ ).