Для построения графика двух функций, определённых на разных интервалах, давайте сначала разберёмся с каждой из них.

Первая функция: ( -x^2 + 2x + 3 ) для ( x \geq -1 ).
Это квадратичная функция, которая будет иметь свою вершину и открываться вниз, так как коэффициент при ( x^2 ) отрицательный.

Чтобы найти вершину этой параболы, можно воспользоваться формулой для абсциссы вершины:
[
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1
]
Подставим ( x_v ) в функцию, чтобы найти ординату вершины:
[
y_v = -1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = 4
]
Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (1, 4) ).

Определим дополнительные точки для построения графика:

( f(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 3 = 0 )( f(0) = -0^2 + 2(0) + 3 = 3 )( f(2) = -(2)^2 + 2(2) + 3 = 3 )

Вторая функция: ( -x + 1 ) для ( x < -1 ).
Это линейная функция с угловым коэффициентом -1 и наибольшим значением при ( x = -1 ):

( f(-1) = -(-1) + 1 = 2 ) (эта точка не будет включена в график для этой функции, т.к. она определена для ( x < -1 ))( f(-2) = -(-2) + 1 = 3 )( f(-3) = -(-3) + 1 = 4 )

Теперь можем построить график:

Для первой функции:

Вершина ( (1, 4) )Точки: ( (-1, 0) ), ( (0, 3) ), ( (2, 3) )

Для второй функции:

Линия наклонена вниз с координатами выше.

График будет выглядеть так:

Для ( x < -1 ) функция будет линейной (с наклоном -1) и продолжается в сторону ( (-\infty, 2) ).Для ( x \geq -1 ) функция будет параболической, и её можно будет нарисовать от точки ( (-1, 0) ) до ( (2, 3) ) с вершиной в ( (1, 4) ).

Не забудьте, что точка ( (-1, 2) ) не включается в график второй функции.

Если вам нужно более детальное представление, то лучше воспользоваться графическим редактором или специальным ПО для построения графиков.