а) Для доказательства того, что Настя в какой-то момент получит число, кратное 11, воспользуемся критерием делимости на 11. Число делится на 11, если разность между суммой его цифр на четных позициях и суммой его цифр на нечетных позициях делится на 11.

Рассмотрим последовательность цифр, которую выписывает Настя:

12345678901234567890...

Наблюдая за этой последовательностью, мы можем заметить, что она будет периодически повторяться через каждые 10 цифр. Распределим следующие 10 цифр на четные и нечетные позиции:

Четные позиции: 2, 4, 6, 8, 0 (в каждой десятке — 5 четных цифр)Нечетные позиции: 1, 3, 5, 7, 9 (в каждой десятке — 5 нечетных цифр)

Суммой четных цифр (в каждом полных десяти): (2 + 4 + 6 + 8 + 0) = 20, нечетных (так же): (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 25.

Общая сумма на текущем этапе будет равна 20 - 25 = -5. На каждой очередной десятке это будет увеличиваться на 10 (появляется 10 и обновляется сумма четных и нечетных).

Таким образом:

После первой десятки: 20 - 25 = -5После второй десятки: 40 - 50 = -10После третьей десятки: 60 - 75 = -15

Таким образом, через каждую десятку разность увеличивается на -5.
Так мы пройдём до 55/0 и потом будет -50, -55... пока в конце концов мы выйдем на N = 11.

Таким образом, через некоторое время (после 110 единиц) мы получим значение -33, которое делится на 11 и значит, Настя всё-таки получит кратное - исходя из динамики и закономерности.

б) Для нахождения наименьшего натурального ( N ), при котором Настя никогда не получит число, кратное ( N ), рассмотрим ( N = 3 ).

Посмотрим на последовательность цифр, которую она выписывает:
1, 2, 3, ..., 9, 0, 1, 2, ..., 9 и так далее.

Сумма цифр за каждые 10 символов равна (( 1 + 2 + ... + 9 + 0 )) = 45.

Поскольку 45 делится на 3, значит, если Настя выписывает БЕСКОНЕЧНОЕ число, она в конечном итоге сократит сумму в таких группах по 10 до 0 и повторяет, соответственно.

Таким образом, чисел, кратные ( 3 ), у неё в процессе наблюдается, и она никогда не сможет избежать групп. Это значит, что мы не можем установить после этой длины ( N = 3 ) как наименьший, чтобы она находила кратное число.

Вывод: наименьшее натуральное ( N ), которое у Насти никогда не получится, это 3.