Для нахождения угла между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) мы используем формулу:

[
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}
]

где ( \theta ) — угол между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) — скалярное произведение, а ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ) — длины (модuli) векторов.

Найдем векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ):

( \mathbf{a} = \mathbf{p} - 3\mathbf{q} )

( \mathbf{b} = \mathbf{p} + 2\mathbf{q} )

Вычислим скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ):

[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (\mathbf{p} - 3\mathbf{q}) \cdot (\mathbf{p} + 2\mathbf{q})
]

Раскроем скобки:

[
= \mathbf{p} \cdot \mathbf{p} + 2 \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} - 3\mathbf{q} \cdot \mathbf{p} - 6\mathbf{q} \cdot \mathbf{q}
]

Так как скалярное произведение коммутативно, ( \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} = \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} ):

[
= |\mathbf{p}|^2 - \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} - 6 |\mathbf{q}|^2
]

Теперь подставим известные величины:

( |\mathbf{p}| = 2 ) ⇒ ( |\mathbf{p}|^2 = 4 )( |\mathbf{q}| = 3 ) ⇒ ( |\mathbf{q}|^2 = 9 )( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = |\mathbf{p}| |\mathbf{q}| \cos(\phi) )

где ( \phi ) — угол между ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ). Из условия мы знаем, что угол между ними ( \pi/3 ):

[
\cos(\pi/3) = \frac{1}{2}
]

Тогда:

[
\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3
]

Теперь подставим все значения в скалярное произведение:

[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4 + 2 \cdot 3 - 3 \cdot 3 - 6 \cdot 9 = 4 + 6 - 9 - 54 = 4 + 6 - 9 - 54 = -53
]

Выразим длины векторов ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ):

Для нахождения ( |\mathbf{a}| ):

[
|\mathbf{a}|^2 = |\mathbf{p} - 3\mathbf{q}|^2 = |\mathbf{p}|^2 + 9|\mathbf{q}|^2 - 6\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}
]

Подставляем:

[
= 4 + 9 \cdot 9 - 6 \cdot 3 = 4 + 81 - 18 = 67
]

Так что ( |\mathbf{a}| = \sqrt{67} ).

Для нахождения ( |\mathbf{b}| ):

[
|\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{p} + 2\mathbf{q}|^2 = |\mathbf{p}|^2 + 4|\mathbf{q}|^2 + 4\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}
]

Подставляем:

[
= 4 + 4 \cdot 9 + 4 \cdot 3 = 4 + 36 + 12 = 52
]

Так что ( |\mathbf{b}| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} ).

Теперь подставим значения в формулу для ( \cos(\theta) ):

[
\cos(\theta) = \frac{-53}{\sqrt{67} \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{-53}{2\sqrt{871}}
]

Теперь находим угол ( \theta ):

Угол ( \theta = \arccos\left(\frac{-53}{2\sqrt{871}}\right) ).

Таким образом, угол между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) можно получить вычислив арккосинус вышеуказанного значения.