Для решения задачи мы сначала определим некоторые необходимые элементы и применим формулы для нахождения длины медианы.

Пусть ( M ) — середина отрезка ( AC ). Тогда медиана ( BM ) делит треугольник ( ABC ) на два равновеликих треугольника ( ABM ) и ( BCM ).

Поскольку окружность описана около треугольника ( ABC ), радиус описанной окружности ( R ) равен 10. Радиус окружности можно представить через стороны треугольника и угол между ними по формуле:

[
R = \frac{abc}{4S}
]

где ( a ), ( b ), ( c ) — стороны треугольника, а ( S ) — его площадь.

В данном случае нам известна только одна сторона ( AB = c = 12 ). Обозначим ( AC = b ) и ( BC = a ). Чтобы найти медиану ( BM ), нужно сначала найти длины сторон ( a ) и ( b ).

Площадь ( S ) треугольника ( ABC ) также можно выразить через радиус окружности и полупериметр ( p ):

[
S = R \cdot p
]

где полупериметр ( p = \frac{a + b + c}{2} ).

Итак, нам нужно установить связь между сторонами треугольника и заданным радиусом.

Мы знаем, что ( OM ) (расстояние от центра окружности до середины оснований) делит ( AC ) пополам. По теореме о медиане в треугольнике получаем:

[
BM = \sqrt{AB^2 - \frac{AC^2}{4}}.
]

Сначала нам нужно найти сторону ( AC ) или ( BC ). Однако, в данную задачу не хватает некоторых соотношений, чтобы выразить необходимые стороны через известные. Если вы обладаете дополнительной информацией о треугольнике, наподобие углов или другой информации по сторонам, можно было бы сделать более точные вычисления. Пожалуйста, уточните, если известны углы или стороны.