Давайте поочередно рассмотрим доказательства для каждой из трёх теорем.

1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ( ABC ). Обозначим точки пересечения высот ( A, B, C ) и основания высот ( D, E, F ), где ( D ) — основание высоты из ( A ) (перпендикуляр к ( BC )), ( E ) — основание высоты из ( B ) (перпендикуляр к ( AC )), ( F ) — основание высоты из ( C ) (перпендикуляр к ( AB )).

По определению высоты треугольника, каждая из высот является перпендикуляром к противолежащей стороне и проходит через одну из вершин.Мы можем рассмотреть два треугольника, образованных высотами, например ( \triangle AEF ) и ( \triangle BDF ).Высота из вершины ( A ) пересекает основание ( BC ) перпендикулярно, также как и высота из ( B ) пересекает основание ( AC ). Учитывая свойство угла при вершине (угол в 90°), можно показать, что треугольники ( AEF ) и ( BDF ) являются подобными треугольниками. На основе подобия треугольников можно утверждать, что центры кругов, описанных около этих треугольников, совпадают, и следовательно, все три высоты пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентр.

Таким образом, высоты треугольника пересекаются в одной точке.

2. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ( ABC ). Обозначим середины сторон ( AB, AC, BC ) как ( M, N, P ) соответственно. Рассмотрим серединные перпендикуляры к сторонам ( AB, AC, BC ).

Серединный перпендикуляр к стороне ( AB ) проходит через точку ( M ) и перпендикулярен ( AB ).Серединный перпендикуляр к стороне ( AC ) проходит через точку ( N ) и перпендикулярен ( AC ).Эти перпендикуляры пересекаются в точке ( O ). Эта точка ( O ) будет равноудалена от всех трёх вершин ( A, B, C ) (т.е. ( OA = OB = OC )).Таким образом, точка ( O ) является центром описанной окружности треугольника ( ABC ).

Таким образом, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности.

3. Биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ( ABC ) и проводим биссектрисы углов ( A, B, C ), обозначив точки пересечения биссектрис с противоположными сторонами как ( D, E, F ).

Биссектрисы ( AD, BE, CF ) делят соответствующие углы ( A, B, C ) пополам.По свойству биссектрисы, точки, лежащие на биссектрисах, находятся в отношении, равном длинам прилежащих сторон треугольника. То есть:
[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}, \quad \frac{AE}{EC} = \frac{BA}{BC}, \quad \frac{AF}{FB} = \frac{CA}{CB}
]Рассмотрим круг, описанный около треугольника, и построим матрицы с координатами каждой стороны.На основании равенства углов и подобия треугольников можно показать, что все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая называется ин центром.

Таким образом, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся ин центром.

Все три теоремы доказаны, и мы нашли, что высоты, серединные перпендикуляры и биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.