В прямоугольном треугольнике ( KPS ) с прямым углом в ( K ) и углом ( P = 60^\circ ), мы можем использовать свойства треугольников и тригонометрию.

Обозначим:

( KP = a ) ( PS = b )

Согласно условию, мы имеем уравнение:
[ a + b = 21 ]

В прямоугольном треугольнике углы ( KPS ) равны ( 90^\circ ) и ( 60^\circ ). Следовательно, угол ( S ) будет равен:
[ S = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ ]

Теперь, используя соотношения для прямоугольного треугольника, мы можем написать:

Для угла ( P ) (60°):
[
\frac{PS}{KP} = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}
]
То есть:
[
PS = KP \cdot \sqrt{3}
]
Или:
[
b = a \cdot \sqrt{3}
]

Теперь мы можем подставить ( b ) в уравнение ( a + b = 21 ):
[
a + a \cdot \sqrt{3} = 21
]
[
a(1 + \sqrt{3}) = 21
]
[
a = \frac{21}{1 + \sqrt{3}}
]

Умножим числитель и знаменатель на ( 1 - \sqrt{3} ):
[
a = \frac{21(1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{21(1 - \sqrt{3})}{-2} = -\frac{21(1 - \sqrt{3})}{2}
]

Теперь, чтобы найти ( b ), подставляем значение ( a ):
[
b = a \cdot \sqrt{3} = -\frac{21(1 - \sqrt{3})}{2} \cdot \sqrt{3}
]

Эти расчетные значения указывают на ошибку вычислений, или на то, что мы не получили положительных значений для длины сторон, так как изначально рассчитываемые параметры должны быть больше нуля в физической модели.

Давай попробуем пересчитать с использованием прямой пропорции связей в треугольнике:

Из свойств треугольника:
[
b = 21 - a
]

Пользуемся теорией синусов:
[
b = a \cdot \sqrt{3}
]
Подставляя:
[
21 - a = a \cdot \sqrt{3}
]
[
21 = a (1 + \sqrt{3})
]

Тогда:
[
a = \frac{21}{1 + \sqrt{3}} \approx 12.1 \text{ см}
]
Для ( b ):
[
b = 21 - 12.1 \approx 8.9 \text{ см}
]

Проверка:
При использовании соотношений должно быть:
KP = 21 - PS пример маршрутизации длины.

Таким образом, решение:
[
KP \approx 12.1 \text{ см}, \quad PS \approx 8.9 \text{ см}
]