Для нахождения координат проекции точки ( A(1, -3) ) на прямую ( 2x - y + 5 = 0 ), воспользуемся следующими шагами:

Запишем уравнение прямой в нормальной форме. У нас есть уравнение прямой:
[
2x - y + 5 = 0.
]
Это можно переписать в виде:
[
y = 2x + 5.
]
У нас есть коэффициенты ( A = 2 ), ( B = -1 ), ( C = 5 ).

Запишем уравнение перпендикуляра, проходящего через точку ( A(1, -3) ). Угловой коэффициент прямой ( 2x - y + 5 = 0 ) равен ( 2 ). Угловой коэффициент перпендикуляра будет равен ( -\frac{1}{2} ).

Уравнение прямой, проходящей через точку ( A(1, -3) ) и имеющей угловой коэффициент ( -\frac{1}{2} ):
[
y + 3 = -\frac{1}{2}(x - 1).
]
Упрощаем это уравнение:
[
y + 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2},
]
[
y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}.
]

Находим координаты пересечения этой прямой с исходной прямой. Теперь нам нужно решить систему уравнений:
1) ( y = 2x + 5 )

2) ( y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2} )

Приравняем правые части:
[
2x + 5 = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}.
]

Умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:
[
4x + 10 = -x - 5.
]
Переносим все члены на одну сторону:
[
4x + x = -5 - 10,
]
[
5x = -15 \implies x = -3.
]

Теперь подставим найденное значение ( x ) в уравнение ( y = 2x + 5 ):
[
y = 2(-3) + 5 = -6 + 5 = -1.
]

Координаты проекции точки ( A(1, -3) ) на прямую. Таким образом, координаты проекции точки ( A(1, -3) ) на прямую ( 2x - y + 5 = 0 ) будут:
[
P(-3, -1).
]

Итак, проекция точки ( A(1, -3) ) на прямую ( 2x - y + 5 = 0 ) — это точка ( P(-3, -1) ).