В задаче нам даны две стороны треугольника ( a = 13 ), ( b = 6 ) и синус угла между ними ( C ) равный ( \sin(C) = \frac{4}{5} ). Мы можем воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти третью сторону треугольника ( c ).

Сначала мы можем найти косинус угла ( C ) по формуле:
[
\sin^2(C) + \cos^2(C) = 1
]
Подставим значение синуса:
[
\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2(C) = 1
]
Это дает нам:
[
\frac{16}{25} + \cos^2(C) = 1
]
Откуда:
[
\cos^2(C) = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}
]
Следовательно:
[
\cos(C) = \pm \frac{3}{5}
]

Теперь можем использовать теорему косинусов:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)
]
Подставляем известные значения:
[
a = 13, \quad b = 6, \quad \cos(C) = \frac{3}{5}
]
Подставляя в формулу, получаем:
[
c^2 = 13^2 + 6^2 - 2 \cdot 13 \cdot 6 \cdot \frac{3}{5}
]
Выражаем члены:
[
c^2 = 169 + 36 - 2 \cdot 13 \cdot 6 \cdot \frac{3}{5}
]
Рассчитаем произведение:
[
2 \cdot 13 \cdot 6 = 156
]
Теперь подставим:
[
c^2 = 169 + 36 - \frac{468}{5}
]
Сначала найдем сумму ( 169 + 36 = 205 ), а затем преобразуем:
[
c^2 = 205 - \frac{468}{5} = \frac{1025}{5} - \frac{468}{5} = \frac{557}{5}
]

Теперь вычисляем ( c ):
[
c = \sqrt{\frac{557}{5}} = \frac{\sqrt{557}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{557 \times 5}}{5} = \frac{\sqrt{2785}}{5}
]

Таким образом, третья сторона ( c ) равна ( c = \frac{\sqrt{2785}}{5} ) или примерно равно ( c \approx 10.54 ) (после вычисления).

Таким образом, третья сторона треугольника равна ( c = \frac{\sqrt{2785}}{5} ).