В треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, дано, что отношение сторон AC и CB равно 5:12.

Обозначим AC как 5x и CB как 12x. Тогда по теореме Пифагора мы можем выразить сторону AB, равную 130:

[
AB^2 = AC^2 + CB^2
]

Подставляем значения:

[
130^2 = (5x)^2 + (12x)^2
]

Теперь упрощаем:

[
16900 = 25x^2 + 144x^2
]
[
16900 = 169x^2
]

Теперь решим это уравнение для x:

[
x^2 = \frac{16900}{169} = 100
]
[
x = 10
]

Теперь можно найти длины сторон AC и CB:

[
AC = 5x = 5 \times 10 = 50
]
[
CB = 12x = 12 \times 10 = 120
]

Теперь найдем длину высоты CH. Площадь треугольника ABC можно выразить тремя разными способами:

Через две катеты:
[
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 120 = 3000
]

Через основание AB и высоту CH:
[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \implies 3000 = \frac{1}{2} \cdot 130 \cdot CH
]

Решим это уравнение для высоты CH:

[
3000 = 65 \cdot CH
]
[
CH = \frac{3000}{65} = 46.1538 \quad(приблизительно)
]

Теперь найдем AH. В прямоугольном треугольнике вы можете использовать отношение катета к гипотенузе. Мы можем использовать теорему о высоте (с учетом, что AH + BH = AB):

[
AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{50^2}{130} = \frac{2500}{130} \approx 19.23
]

Таким образом, длина AH (где AH — проекция катета AC на гипотенузу AB) будет равна приблизительно 19.23.