Для того чтобы найти косинус наибольшего угла треугольника ABC, можно воспользоваться теоремой косинусов. Сначала определим длины сторон:

( AB = c = 8 )( BC = a = 12 )( AC = b = 10 )

Согласно теореме косинусов, косинус угла можно найти по формуле:

[
\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
]
где ( C ) — угол при точке C.

Сначала рассчитаем угол C:

[
\cos C = \frac{12^2 + 10^2 - 8^2}{2 \cdot 12 \cdot 10} = \frac{144 + 100 - 64}{240} = \frac{180}{240} = \frac{3}{4}
]

Теперь найдём угол A:

[
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
]
[
\cos A = \frac{10^2 + 8^2 - 12^2}{2 \cdot 10 \cdot 8} = \frac{100 + 64 - 144}{160} = \frac{20}{160} = \frac{1}{8}
]

Теперь найдём угол B:

[
\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ac}
]
[
\cos B = \frac{8^2 + 12^2 - 10^2}{2 \cdot 8 \cdot 12} = \frac{64 + 144 - 100}{192} = \frac{108}{192} = \frac{9}{16}
]

Теперь у нас есть косинусы всех трёх углов:

( \cos A = \frac{1}{8} )( \cos B = \frac{9}{16} )( \cos C = \frac{3}{4} )

Наибольший угол соотвествует наименьшему косинусу. Тогда наибольший угол это угол A, а его косинус:

[
\cos A = \frac{1}{8}
]

Таким образом, наибольший угол – это угол A, и его косинус равен ( \frac{1}{8} ).