Доказательство будем вести от противного. Пусть в угловых клетках записаны числа ( a, b, c, d ) соответственно, где:

( a ) в левом верхнем углу (1,1),( b ) в правом верхнем углу (1,10),( c ) в левом нижнем углу (10,1),( d ) в правом нижнем углу (10,10).

Допустим, что два угла, например, верхний левый ( a ) и верхний правый ( b ), имеют одинаковое значение. Обозначим это значение как ( x ). Тогда мы имеем:

(1,1) = ( x )(1,10) = ( x )

Теперь рассмотрим квадрат 2×2, который включает эти две клетки:

[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
(1,1) & (1,2) \
\hline
(2,1) & (2,2) \
\hline
\end{array}
]

В этой клетке, находящейся в верхнем левом углу, должно присутствовать все четыре числа 1, 2, 3 и 4. Мы уже знаем, что в клетках (1,1) и (1,10) стоит ( x ). Таким образом, в клетке (1,1) уже одно число занято. Теперь перейдем к следующему квадрату 2×2, состоящему из клеток:

[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
(1,9) & (1,10) \
\hline
(2,9) & (2,10) \
\hline
\end{array}
]

Поскольку (1,10) также равно ( x ), в этом квадрате также должно присутствовать все четыре числа 1, 2, 3 и 4. Получается, что в клетках (1,10) и (1,1) уже используются два числа.

Поскольку в каждом квадрате 2×2 должно быть 4 уникальных числа, сначала нам не хватает только 2 и 3 или их аналогов в этих клетках. Но учтем, что у нас уже два числа заняты, и по аналогичной логике мы столкнемся с тем, что если в структуре клеток опять рассматриваем квадрат, содержащий (10,1) и (10,10), он также следует свойствам, аналогичным предыдущим.

Теперь, если смотреть в общей картине, если:

1,1 (x)1,10 (x)допустим, 10,1 (y)10,10 (y)

Это также приводит к тому, что ни один квадрат не может заполниться всеми числами 1, 2, 3 и 4 без повторения в уже отмеченных углах.

Таким образом, имея два одинаковых значения в угловых клетках, приводит к тому, что ни один из квадратов 2x2 в общей структуре не может содержать все 4 числа, что противоречит данному условию.

Следовательно, в угловых клетках должны находиться разные числа. Это доказывает, что в угловых клетках записаны разные числа.

Таким образом, мы пришли к противоречию, что подтверждает, что в четырех угловых клетках действительно написаны разные числа.