В прямоугольном треугольнике с углом в 60 градусов можно обозначить катеты и гипотенузу следующим образом:

Обозначим гипотенузу как ( c ).Меньший катет (противолежащий углу в 60 градусов) обозначим как ( a ).Больший катет (прилежащий к углу в 60 градусов) обозначим как ( b ).

По свойствам прямоугольного треугольника и углам, мы знаем:

( a = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} )( b = c \cdot \cos(60^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} )

Кроме того, по условию:

[
c + a = 51
]

Подставим выражение для ( a ):

[
c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 51
]

Соберем все слагаемые:

[
c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 51
]

Теперь из этого уравнения выразим ( c ):

[
c = \frac{51}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{51}{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{51 \cdot 2}{2 + \sqrt{3}} = \frac{102}{2 + \sqrt{3}}
]

Теперь избавимся от корня в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

[
c = \frac{102(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{102(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 102(2 - \sqrt{3})
]

Теперь можем вычислить значение:

[
c \approx 102 \cdot (2 - 1.732) \approx 102 \cdot 0.268 \approx 27.3 \text{ см}
]

Таким образом, длина гипотенузы ( c \approx 27.3 ) см.