В параллелограмме MNKL биссектрисы углов делят противоположные стороны пропорционально. Поскольку биссектриса угла M пересекает сторону NK в точке P, у нас будет следующее соотношение:

[
\frac{NP}{PK} = \frac{MN}{ML}.
]

Из условия задачи нам известно, что:

[
NP = 8, \quad PK = 10.
]

Следовательно, можем найти отношение между сторонами:

[
\frac{NP}{PK} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}.
]

Это означает, что сторона MN в 4/5 раз больше стороны ML. Однако, ради нахождения периметра параллелограмма, мы можем использовать факты о периметре:

Пусть сторона MN равна ( a ), а сторона ML равна ( b ). Тогда:

[
\frac{a}{b} = \frac{4}{5}.
]

Это может быть записано как:

[
a = \frac{4}{5}b.
]

Периметр параллелограмма определяется формулой:

[
P = 2(a + b).
]

Подставим значение ( a ):

[
P = 2\left(\frac{4}{5}b + b\right) = 2\left(\frac{4}{5}b + \frac{5}{5}b\right) = 2\left(\frac{9}{5}b\right) = \frac{18}{5}b.
]

Теперь нам только нужно найти конкретное значение для ( b ) или ( a ). Для этого можно обратить внимание на отрезки NP и PK. Сумма этих отрезков равна стороне NK:

[
NK = NP + PK = 8 + 10 = 18.
]

Поскольку P делит NK в отношении 4:5, можем выразить NK как 9x (где х - это общее значение соотношения):

[
9x = 18 \implies x = 2.
]

Таким образом, можем найти стороны параллелограмма, используя ( a ) и ( b ):

[
NP = 4k, \quad PK = 5k \quad \text{(где ( k = 2 ) )}.
]

Сторона MN будет 16, а сторона ML будет 10. Тогда можно находить периметр:

[
P = 2(MN + ML) = 2(16 + 10) = 2 \cdot 26 = 52.
]

Таким образом, периметр параллелограмма MNKL равен ( 52 ).