Давайте последовательно упростим выражение (-\frac{5-i}{-4+i} \cdot (-2-2i) + i^{78}).
Найдём (i^{78}). Поскольку (i) — это мнимая единица, то:[i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1]Цикл повторяется каждые 4 степени. Чтобы вычислить (i^{78}), найдем остаток от деления 78 на 4:[78 \div 4 = 19 \text{ (остаток 2)}]Таким образом,[i^{78} = i^2 = -1.]
Теперь упрощаем первое слагаемое (-\frac{5-i}{-4+i}). Умножим числитель и знаменатель на сопряжённый знаменатель:[-\frac{5-i}{-4+i} \cdot \frac{-4-i}{-4-i} = -\frac{(5-i)(-4-i)}{(-4)^2 + 1^2} = -\frac{(20 + 5i + 4i + 1)}{16 + 1} = -\frac{21 + 9i}{17} = -\frac{21}{17} - \frac{9}{17}i.]
Теперь перемножим полученное значение на ((-2-2i)):[\left(-\frac{21}{17} - \frac{9}{17}i\right) \cdot (-2 - 2i).]Умножение выполняем следующим образом:[= \frac{21 \cdot 2}{17} + \frac{21 \cdot 2i}{17} + \frac{18i}{17} - \frac{18 \cdot i^2}{17}.]Заменяя (i^2) на (-1):[= \frac{42}{17} + \frac{42i}{17} + \frac{18i}{17} + \frac{18}{17} = \frac{42 + 18}{17} + \frac{42 + 18}{17}i = \frac{60}{17} + \frac{60}{17}i.]
Теперь добавим (i^{78}) (который равен (-1)):[\frac{60}{17} + \frac{60}{17}i - 1 = \frac{60}{17} - \frac{17}{17} + \frac{60}{17}i = \frac{60 - 17}{17} + \frac{60}{17}i = \frac{43}{17} + \frac{60}{17}i.]
Таким образом, итоговое значение выражения:[\frac{43}{17} + \frac{60}{17}i.]
Объясните, пожалуйста, вот Вы пишете "\frac", это что значит?
Давайте последовательно упростим выражение (-\frac{5-i}{-4+i} \cdot (-2-2i) + i^{78}).
Найдём (i^{78}). Поскольку (i) — это мнимая единица, то:
[
i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1
]
Цикл повторяется каждые 4 степени. Чтобы вычислить (i^{78}), найдем остаток от деления 78 на 4:
[
78 \div 4 = 19 \text{ (остаток 2)}
]
Таким образом,
[
i^{78} = i^2 = -1.
]
Теперь упрощаем первое слагаемое (-\frac{5-i}{-4+i}). Умножим числитель и знаменатель на сопряжённый знаменатель:
[
-\frac{5-i}{-4+i} \cdot \frac{-4-i}{-4-i} = -\frac{(5-i)(-4-i)}{(-4)^2 + 1^2} = -\frac{(20 + 5i + 4i + 1)}{16 + 1} = -\frac{21 + 9i}{17} = -\frac{21}{17} - \frac{9}{17}i.
]
Теперь перемножим полученное значение на ((-2-2i)):
[
\left(-\frac{21}{17} - \frac{9}{17}i\right) \cdot (-2 - 2i).
]
Умножение выполняем следующим образом:
[
= \frac{21 \cdot 2}{17} + \frac{21 \cdot 2i}{17} + \frac{18i}{17} - \frac{18 \cdot i^2}{17}.
]
Заменяя (i^2) на (-1):
[
= \frac{42}{17} + \frac{42i}{17} + \frac{18i}{17} + \frac{18}{17} = \frac{42 + 18}{17} + \frac{42 + 18}{17}i = \frac{60}{17} + \frac{60}{17}i.
]
Теперь добавим (i^{78}) (который равен (-1)):
[
\frac{60}{17} + \frac{60}{17}i - 1 = \frac{60}{17} - \frac{17}{17} + \frac{60}{17}i = \frac{60 - 17}{17} + \frac{60}{17}i = \frac{43}{17} + \frac{60}{17}i.
]
Таким образом, итоговое значение выражения:
[
\frac{43}{17} + \frac{60}{17}i.
]
Объясните, пожалуйста, вот Вы пишете "\frac", это что значит?