Чтобы решить уравнение ( \frac{3}{x} - x = 5 ), начнем с приведения его к общему виду.

Умножим все части уравнения на ( x ) (предполагаем, что ( x \neq 0 )):
[
3 - x^2 = 5x
]

Переносим все члены в одну сторону:
[
-x^2 - 5x + 3 = 0
]

Умножим уравнение на -1 для удобства:
[
x^2 + 5x - 3 = 0
]

Теперь можем использовать формулу для решения квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = 5 ), ( c = -3 ).

Подставим значения в формулу:
[
x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}
]
[
x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 12}}{2}
]
[
x = \frac{-5 \pm \sqrt{37}}{2}
]

Таким образом, у нас есть два решения:
[
x_1 = \frac{-5 + \sqrt{37}}{2}
]
[
x_2 = \frac{-5 - \sqrt{37}}{2}
]

Это окончательные решения для уравнения ( \frac{3}{x} - x = 5 ).