Чтобы доказать подобие треугольников (ABC) и (A_1B_1C_1), нужно показать, что стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника.

Рассмотрим длины сторон данных треугольников:

Для треугольника (ABC):

(AB = 6) см(BC = 7) см(CA = 8) см

Для треугольника (A_1B_1C_1):

(A_1B_1 = 18) см(B_1C_1 = 21) см(C_1A_1 = 24) см

Теперь найдем коэффициенты подобия, взяв отношение соответствующих сторон:

Для сторон (AB) и (A_1B_1):
[
\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}
]

Для сторон (BC) и (B_1C_1):
[
\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}
]

Для сторон (CA) и (C_1A_1):
[
\frac{CA}{C_1A_1} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}
]

Все три отношения равны ( \frac{1}{3} ), что подтверждает, что стороны треугольников (ABC) и (A_1B_1C_1) пропорциональны.

Таким образом, по критерию подобия (по стороне и двум прилежащим углам или по пропорциональности сторон) можно заключить, что треугольники (ABC) и (A_1B_1C_1) подобны.