Чтобы найти угол ( A ) треугольника ( ABC ), заданного векторы ( \vec{AB} ) и ( \vec{AC} ), мы можем использовать скалярное произведение векторов.

Угол ( A ) между векторами ( \vec{AB} ) и ( \vec{AC} ) можно вычислить по формуле:

[
\cos(A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}
]

где:

( \vec{AB} \cdot \vec{AC} ) — скалярное произведение векторов,( |\vec{AB}| ) и ( |\vec{AC}| ) — длины векторов.Вычислим скалярное произведение ( \vec{AB} \cdot \vec{AC} ):

[
\vec{AB} = (0, -1, 1)
]
[
\vec{AC} = (1, 1, 0)
]

Скалярное произведение вычисляется так:

[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 - 1 + 0 = -1
]

Вычислим длины векторов ( |\vec{AB}| ) и ( |\vec{AC}| ):

Длина вектора ( \vec{AB} ):

[
|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}
]

Длина вектора ( \vec{AC} ):

[
|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}
]

Теперь подставим все значения в формулу для косинуса угла:

[
\cos(A) = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{2}
]

Теперь найдём угол A:

[
A = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)
]

Угол ( A = 120^\circ ) (или ( \frac{2\pi}{3} ) радиан), поскольку косинус угла равен -1/2 в этом случае.

Таким образом, угол ( A ) треугольника ( ABC ) равен ( 120^\circ ).