Для решения неравенства ((x + 3)(x - 4)(x + 6) < 0) с помощью метода интервалов, следуем следующим шагам:

Находим нули функции. Нули получаются приравниванием каждого множителя к нулю:

[
x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3
]
[
x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4
]
[
x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -6
]

Таким образом, нули функции: (x = -6), (x = -3) и (x = 4).

Выделяем интервалы. На числовой оси устанавливаем точки, делая разбиение:

( (-\infty, -6) )( (-6, -3) )( (-3, 4) )( (4, +\infty) )

Определяем знак произведения в каждом интервале. Для этого выбираем тестовые точки из каждого интервала:

Для интервала ( (-\infty, -6) ): выберем (x = -7):
[
(-7 + 3)(-7 - 4)(-7 + 6) = (-4)(-11)(-1) < 0
]

Для интервала ( (-6, -3) ): выберем (x = -5):
[
(-5 + 3)(-5 - 4)(-5 + 6) = (-2)(-9)(1) > 0
]

Для интервала ( (-3, 4) ): выберем (x = 0):
[
(0 + 3)(0 - 4)(0 + 6) = (3)(-4)(6) < 0
]

Для интервала ( (4, +\infty) ): выберем (x = 5):
[
(5 + 3)(5 - 4)(5 + 6) = (8)(1)(11) > 0
]

Подводим итоги по знакам:

В интервале ((- \infty, -6)) функция отрицательна.В интервале ((-6, -3)) функция положительна.В интервале ((-3, 4)) функция отрицательна.В интервале ((4, +\infty)) функция положительна.

Определяем, где функция меньше нуля (то есть, (< 0)):

Отрицательная на интервалах: ((- \infty, -6)) и ((-3, 4)).

Записываем ответ:
[
x \in (-\infty, -6) \cup (-3, 4)
]

Таким образом, решением неравенства ((x + 3)(x - 4)(x + 6) < 0) будет:

[
\boxed{(-\infty, -6) \cup (-3, 4)}
]