Давайте обозначим длины отрезков. Пусть ( AC = x ), тогда ( MC = 3x ) (по условию, ( MC:AC = 3:1 )). Следовательно, ( AM = AC + MC = x + 3x = 4x ).

Теперь обозначим длину отрезка ( AB = b ).

Пусть ( N ) — середина отрезка ( AB ), тогда ( AN = \frac{b}{2} ).

Теперь мы найдем координаты нужных точек. Расположим точки на координатной плоскости следующим образом:

( A(0, 0) )( B(b, 0) )( C(0, h) )( M(-3x, h) ), так как ( M ) находится на продолжении стороны ( AC ).

Теперь находим координаты точки ( N ):
[
N\left(\frac{b}{2}, 0\right)
]

Теперь выписываем уравнение прямой ( MN ). Для этого найдем угол наклона (угловой коэффициент) этой прямой.

Угол наклона ( MN ):
[
k = \frac{h - 0}{-3x - \frac{b}{2}} = \frac{h}{-3x - \frac{b}{2}}
]

Уравнение прямой ( MN ):
[
y - 0 = k \left(x - \frac{b}{2}\right) \implies y = \frac{h}{-3x - \frac{b}{2}} \left(x - \frac{b}{2}\right)
]

Теперь нам нужно найти координаты, где прямая ( MN ) пересекает ( BC ). Уравнение прямой ( BC ) можно определить, взяв два конца:

( B(b, 0) )( C(0, h) )

Угловой коэффициент:
[
k_{BC} = \frac{h - 0}{0 - b} = -\frac{h}{b}
]
Уравнение прямой ( BC ):
[
y = -\frac{h}{b}x + h
]

Решим систему уравнений, чтобы найти точку ( O ):

( y = \frac{h}{-3x - \frac{b}{2}}(x - \frac{b}{2}) )( y = -\frac{h}{b}x + h )

Приравниваем уравнения:
[
\frac{h}{-3x - \frac{b}{2}} \left(x - \frac{b}{2}\right) = -\frac{h}{b}x + h
]

Устраняем ( h ) и упрощаем уравнение, находим ( x_O ), затем подставляем в одно из уравнений для нахождения ( y_O ).

После нахождения координат ( O ) и через формулы для площади треугольников находим их площади:
[
S{ABC} = \frac{1}{2} | \text{det}(A, B, C) | = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h
]
[
S{SOC} = \frac{1}{2} | \text{det}(S, O, C) |
]

В результате ищем отношение ( S{ABC} : S{SOC} ).

Поставив все ликвидные значения находим соотношение площадей треугольников:
[
\frac{S{ABC}}{S{SOC}} = \frac{b \cdot h}{...} = k
]

Таким образом, вычисляя и упрощая, мы получим конечный результат. Для более точного результата необходимо провести все алгебраические операции и получить численные значения. Можно получить соотношение, как исходя из соотношений между координатами ( S{ABS} : S{SOC} = 4:1 ).