Давайте рассмотрим треугольник ABC и точки K и M на его сторонах. Для удобства можно обозначить:

Пусть ( S ) — площадь треугольника ABC.Поскольку ( AK:KB = 2:1 ), то точка K разбивает сторону AB в отношении 2:1, что означает, что ( AK = \frac{2}{3} AB ) и ( KB = \frac{1}{3} AB ).Аналогично, поскольку ( BM:MC = 3:2 ), точка M разбивает сторону BC в отношении 3:2, так что ( BM = \frac{3}{5} BC ) и ( MC = \frac{2}{5} BC ).

Теперь, чтобы найти отношение площадей треугольников SABT и SBTС, можно воспользоваться свойством, что площади треугольников, у которых одна сторона общая и высоты проведены из одной и той же вершины, пропорциональны основаниям, на которые они опираются.

Площадь треугольника SABT будет пропорциональна длине отрезка KT, а площадь треугольника SBTС — длине отрезка TC.

Для нахождения данных расстояний можно провести следующие шаги:

Найти положение точки O, в которой пересекаются линии AM и SK. Поскольку эта точка имеет дольки, равные противоположным отрезкам, ее распределение будет влиять на окончательные площади.

Найти пересечение точки T, где прямая BO пересекает AC. Этот участок разделит AC на два отрезка, которые будут определять пропорции площадей.

Так как ( AK:KB = 2:1 ), имеет смысл также рассмотреть, что высоты, проведенные из К и из М в сторону AB и BC, будут влиять на результате:

Отрезки KT и TC будут пропорциональны их основанию, а потому процентное отношение тоже будет 2:1 для отрезков, связанных с K и M, и 3:2 для отрезков, связанных с B и M. Поэтому итоговым будет отношение площадей ( S{ABT} : S{BTC} ).

Таким образом, при анализе пересечения высот и прямых, в зависимости от координат и пропорций, мы находим, что:

[
\frac{S{ABT}}{S{BTC}} = \frac{AK \cdot BM}{KB \cdot MC} = \frac{2 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{6}{2} = 3.
]

Итак, ответ на вопрос ( S{ABT} : S{BTC} = 3:1 ).