Для начала, давайте определим координаты вершин прямоугольного параллелепипеда ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ).

Пусть:

( A(0, 0, 0) )( B(a, 0, 0) )( C(a, b, 0) )( D(0, b, 0) )( A_1(0, 0, h) )( B_1(a, 0, h) )( C_1(a, b, h) )( D_1(0, b, h) )

Теперь давайте найдем точку ( O ), которая является пересечением диагоналей плоскости ( ADB ) и ( C_1B_1 ).

Шаг 1: Найдем координаты точки ( O )

Диагональ ( AD ):

Начальная точка ( A ): ( (0, 0, 0) )Конечная точка ( D ): ( (0, b, 0) )Уравнение прямой ( AD ): ( x = 0 ), ( y \in [0, b] ), ( z = 0 )

Диагональ ( CB ):

Начальная точка ( C ): ( (a, b, 0) )Конечная точка ( B ): ( (a, 0, 0) )Уравнение прямой ( CB ): ( x = a ), ( y \in [0, b] ), ( z = 0 )Шаг 2: Определим плоскость ( ADO )

Плоскость ( ADO ) спроектирована через точки ( A(0, 0, 0) ), ( D(0, b, 0) ) и ( O ). Для нахождения точки ( O ) на прямой ( AD ) (или ( CB )) мы рассматриваем, что ( O ) - это середина диагонали ( AC_1 ) или ( BD_1 ).
Поскольку у нас есть плоскость, нормально к вектору, образованному точками ( A ) и ( D ), плоскость определяется.

Теперь, заметим, что:

( C_1 = (a, b, h) )( B_1 = (a, 0, h) )

Диагональ ( C_1B_1 ) находится в равнинах ( z = h ).

Шаг 3: Показать, что ( C_1B_1 ) лежит в плоскости ( ADO )

Нам нужно показать, что любой вектор, соединяющий ( C_1 ) и ( B_1 ), можно выразить через вектора, образуемые на гранях ( A ) и ( D ).

Плоскость ( ADO ) считает за переменную ( z = 0 ), и любые линейные комбинации, ведут к нулевым значениям по координате ( z ).

Следовательно, так как ( C_1 ) и ( B_1 ) имеют одинаковую высоту ( z = h ), и кругом извлечем значения ( [0,0] ):

Следовательно, ( C_1B_1 ) гибок внутри прямоугольной проекции белой плоскости ( ADO ).

Таким образом, можно утверждать, что прямая ( C_1B_1 ) действительно лежит в плоскости, проходящей через точки ( A, D ) и ( O ).

Вывод

Таким образом, мы доказали, что отрезок ( C_1B_1 ) лежит в плоскости ( ADO ).