Для начала найдем длину ребра куба. Площадь поверхности куба определяется формулой:

[
S = 6a^2,
]

где ( S ) — площадь поверхности, а ( a ) — длина ребра куба.

Из условия задачи нам известно, что ( S = 50 \, \text{см}^2 ):

[
6a^2 = 50.
]

Теперь решим это уравнение для ( a^2 ):

[
a^2 = \frac{50}{6} \approx 8.33.
]

Теперь находим ( a ):

[
a = \sqrt{8.33} \approx 2.89 \, \text{см}.
]

Теперь найдем площадь диагонального сечения куба. Диагональное сечение куба представляет собой квадрат, чьи стороны равны диагонали грани куба. Диагональ грани (квадрата) можно найти по формуле:

[
d = a\sqrt{2}.
]

Сначала вычислим диагональ грани:

[
d = 2.89 \cdot \sqrt{2} \approx 2.89 \cdot 1.41 \approx 4.08 \, \text{см}.
]

Теперь находим площадь диагонального сечения:

[
S_{сечения} = d^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2.
]

Теперь подставим ( a^2 ):

[
S_{сечения} = 2 \cdot \frac{50}{6} = \frac{100}{6} \approx 16.67 \, \text{см}^2.
]

Таким образом, площадь диагонального сечения куба составляет примерно ( 16.67 \, \text{см}^2 ).