Для решения задачи, начнем с анализа предложенной функции плотности вероятности $p(x)=0.4(1-0.4{)}^x$. Это известная функция распределения геометрического распределения. Здесь мы рассмотрим, что $x$ принимает значения $0,1,2,\dots$.

а) Найти коэффициент $A$

У нас дано:

$$f(x)=Ag(x),$$

где $g(x)=p(x)=0.4(1-0.4{)}^x$ для $x$ в интервале $[x_1,x_2]$ и $f(x)=0$ вне этого интервала. Чтобы $f(x)$ была корректной функцией плотности вероятности, необходимо, чтобы интеграл от $f(x)$ по всему пространству равнялся 1.

Поскольку $p(x)$ является функцией вероятности, в интервале $[0,\infty )$:

$${\int }_0^{\infty }p(x)dx=1.$$

Однако, здесь мы хотим нормализовать $p(x)$ на некотором интервале $[x_1,x_2]$. Для данной функции, чтобы найти $A$, нужно, чтобы:

$$A\sum _{x=x_1}^{x_2}p(x)=1.$$

Сумму конечной геометрической прогрессии можно выразить как:

$$\sum _{x=x_1}^{x_2}p(x)=p(x_1)+p(x_1+1)+\dots +p(x_2).$$

б) Найти $M(X)$, $D(X)$, $\sigma (X)$

Для геометрического распределения, где каждое наблюдение содержит число до первого успешного исхода с вероятностью успеха $p$, математическое ожидание $(M(X))$ и дисперсия $(D(X))$ выражаются через формулы:

$$M(X)=\frac{1-p}{p},$$ $$D(X)=\frac{1-p}{p^2}.$$

Подставляя $p=0.4$:

$$M(X)=\frac{1-0.4}{0.4}=1.5,$$ $$D(X)=\frac{1-0.4}{(0.4{)}^2}=\frac{0.6}{0.16}=\mathrm{3.75.}$$

Стандартное отклонение $(\sigma (X))$ будет равно:

$$\sigma (X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{3.75}\approx \mathrm{1.936.}$$

в) Найти функцию распределения $F(x)$

Функция распределения $F(x)$ для геометрического распределения определяется как сумма вероятностей:

$$F(x)=P(X\le x)=\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }p(k).$$

Используя формулу:

$$F(x)=1-(1-p{)}^{\lfloor x\rfloor +1},$$

применим для $p=0.4$:

$$F(x)=1-(0.6{)}^{\lfloor x\rfloor +1}.$$

г) Построить графики $F(x)$ и $f(x)$

Теперь мы построим графики этих функций на интервале $[0,5]$ $можновыбратьдругойинтервал$.

Примерные значения для $f(x)$ и $F(x)$:Для $x=0:f(0)=p(0)=0.4;F(0)=0.4;$Для $x=1:f(1)=0.4\cdot (0.6)=0.24;F(1)=0.4+0.24=0.64;$Для $x=2:f(2)=0.4\cdot (0.6{)}^2=0.144;F(2)=0.64+0.144=0.784;$Для $x=3:f(3)=0.4\cdot (0.6{)}^3=0.0864;F(3)=0.784+0.0864=0.8704;$Для $x=4:f(4)=0.4\cdot (0.6{)}^4=0.05184;F(4)=0.8704+0.05184=0.92224;$Для $x=5:f(5)=0.4\cdot (0.6{)}^5=0.031104;F(5)=0.92224+0.031104=0.953344;$

Таким образом, можно построить график $f(x)$ от 0 до 5 и график $F(x)$ от 0 до 5, нанося на них найденные значения.

Если вам нужно создать графики, вы можете использовать Python с библиотекой Matplotlib или любой другой инструмент для построения графиков.