Чтобы решить задачу, начнем с общего количества способов рассадить 9 человек $7мальчикови2девочки$ за круглым столом. Круглая расстановка n человек учитывает, что повороты считаются одинаковыми, поэтому общее количество способов можно вычислить как $n-1$!.

В нашем случае n = 9, поэтому общее количество способов рассаживания 9 человек за круглый стол:

$$(9-1)!=8!=40320.$$

Теперь найдем количество способов, в которых все 7 мальчиков сидят рядом. Мы можем рассматривать 7 мальчиков как одну "группу" или "блок". Таким образом, у нас будет 3 "персонажа": блок из 7 мальчиков и 2 девочки. Эти 3 "персонажа" можно рассадить за круглым столом, что будет оцениваться как $3-1$!:

$$(3-1)!=2!=2.$$

Теперь внутри блока из 7 мальчиков они могут занимать места друг относительно друга, что мы можем оценить как 7!:

$$7!=5040.$$

Теперь перемножим количество способов, чтобы разместить блок и девочек, и количество способов расположения внутри блока:

$$2!\cdot 7!=2\cdot 5040=10080.$$

Теперь можем вычислить вероятность того, что все 7 мальчиков будут сидеть рядом. Вероятность P будет равна количеству благоприятных исходов $гдемальчикисидятрядом$ делённому на общее количество исходов:

$$P=\frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}}=\frac{10080}{40320}=\frac{1}{4}.$$

Итак, вероятность того, что все семь мальчиков будут сидеть рядом, равна $\frac{1}{4}$.