Для разложения выражения $(a+b{)}^7$ с использованием треугольника Паскаля, мы можем воспользоваться биномиальной теоремой. Сначала мы вспомним, что коэффициенты при разложении бинома $(a+b{)}^n$ соответствуют $n$-й строке треугольника Паскаля.

Для $n=7$ строка треугольника Паскаля выглядит следующим образом:

$$1,7,21,35,35,21,7,1$$

Теперь, используя эти коэффициенты, мы можем записать разложение:

$$(a+b{)}^7=\sum _{k=0}^7(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{k})a^{7-k}{b}^k$$

Где $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{k}\right)$ – это коэффициенты из треугольника Паскаля.

Разложение будет выглядеть так:

$$(a+b{)}^7=1\cdot a^7+7\cdot a^{6}b+21\cdot a^5{b}^2+35\cdot a^4{b}^3+35\cdot a^3{b}^4+21\cdot a^2{b}^5+7\cdot a{b}^6+1\cdot b^7$$

Итак, полное разложение $(a+b{)}^7$ будет:

$$(a+b{)}^7=a^7+7a^{6}b+21a^5{b}^2+35a^4{b}^3+35a^3{b}^4+21a^2{b}^5+7a{b}^6+b^7$$