Для нахождения области определения функции $y=\sqrt{x(2x-6)(x+13)}$ необходимо выяснить, при каких значениях $x$ подкоренное выражение неотрицательно, так как подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю для того, чтобы функция была определена.

Найдем, при каких условиях выражение $x(2x-6)(x+13)\ge 0$.

Для этого найдем нули выражения:

$x=0$$2x-6=0$ → $x=3$$x+13=0$ → $x=-13$

Таким образом, критические точки: $-13,0,3$.

Теперь разделим числовую ось на интервалы, используя найденные критические точки:

$(-\infty ,-13)$$(-13,0)$$(0,3)$$(3,+\infty )$

Проверим знаки подкоренного выражения на каждом из интервалов:

Для ( x < -13 ) $например,(x=-14)$:
( (-14)(2(-14) - 6)(-14 + 13) = (-14)(-28 - 6)(-1) = (-14)(-34)(-1) > 0 )

Для ( -13 < x < 0 ) $например,(x=-1)$:
( (-1)(2(-1) - 6)(-1 + 13) = (-1)(-2 - 6)(12) = (-1)(-8)(12) > 0 )

Для ( 0 < x < 3 ) $например,(x=1)$:
( (1)(2(1) - 6)(1 + 13) = (1)(2 - 6)(14) = (1)(-4)(14) < 0 )

Для ( x > 3 ) $например,(x=4)$:
( (4)(2(4) - 6)(4 + 13) = (4)(8 - 6)(17) = (4)(2)(17) > 0 )

Теперь определим, для каких интервалов подкоренное выражение больше или равно нулю:
В $(-\infty ,-13)$ подкоренное выражение положительно.В $(-13,0)$ подкоренное выражение положительно.В $(0,3)$ подкоренное выражение отрицательно.В $(3,+\infty )$ подкоренное выражение положительно.

Также следует учесть нули выражения:

При $x=-13$, выражение равно нулю.При $x=0$, выражение равно нулю.При $x=3$, выражение равно нулю.Объединим все найденные интервалы:
Область определения функции:

$$D=(-\infty ,0]\cup [-13,3]$$

Это и есть искомая область определения функции $y=\sqrt{x(2x-6)(x+13)}$.