Чтобы определить последнюю цифру числа ( 13^{2024} + 13 ), сначала найдем последнюю цифру ( 13^{2024} ).

Последняя цифра числа определяется по его последнему числу. Поэтому можно рассматривать только число ( 3^{2024} ), так как последняя цифра ( 13 ) и ( 3 ) одна и та же.

Теперь найдем последние цифры степеней ( 3 ):

[
\begin{align}
3^1 & = 3 \quad (\text{последняя цифра } 3) \
3^2 & = 9 \quad (\text{последняя цифра } 9) \
3^3 & = 27 \quad (\text{последняя цифра } 7) \
3^4 & = 81 \quad (\text{последняя цифра } 1) \
3^5 & = 243 \quad (\text{последняя цифра } 3) \
\end{align}
]

Последние цифры степеней ( 3 ) образуют цикл: ( 3, 9, 7, 1 ). Этот цикл повторяется каждые 4 числа.

Чтобы найти, к какому элементу цикла соответствует ( 3^{2024} ), нужно найти остаток от деления ( 2024 ) на ( 4 ):

[
2024 \mod 4 = 0
]

Это означает, что ( 3^{2024} ) соответствует четвертому элементу в цикле, который равен ( 1 ).

Таким образом, последняя цифра ( 3^{2024} ) равна ( 1 ).

Теперь можем найти последнюю цифру ( 13^{2024} + 13 ):

[
\text{Последняя цифра } 13^{2024} = 1 \
\text{Последняя цифра } 13 = 3 \
]
[
1 + 3 = 4
]

Следовательно, последняя цифра числа ( 13^{2024} + 13 ) равна ( 4 ).