Чтобы показать, что функция ( x = \frac{e^{2t} + e^{-2t}}{2} ) и ( y = \frac{e^{2t} + e^{-2t}}{2} ) удовлетворяет уравнению ( yy' - x = 0 ), нам нужно найти производную ( y' ) и подставить её в уравнение.

Найдем ( y' ):
[
y = \frac{e^{2t} + e^{-2t}}{2}
]
Применим производную:
[
y' = \frac{d}{dt} \left( \frac{e^{2t} + e^{-2t}}{2} \right) = \frac{1}{2}(2e^{2t} - 2e^{-2t}) = e^{2t} - e^{-2t}
]

Теперь подставим ( x ), ( y ) и ( y' ) в уравнение:
Напомним, что:
[
x = \frac{e^{2t} + e^{-2t}}{2}, \quad y = \frac{e^{2t} + e^{-2t}}{2}, \quad y' = e^{2t} - e^{-2t}
]

Подставим эти значения в уравнение ( yy' - x = 0 ):
[
yy' = \left( \frac{e^{2t} + e^{-2t}}{2} \right)(e^{2t} - e^{-2t})
]
Упростим произведение:
[
yy' = \frac{1}{2} (e^{2t} + e^{-2t})(e^{2t} - e^{-2t}) = \frac{1}{2} \left( e^{4t} - e^{2t} e^{-2t} + e^{-2t} e^{2t} - e^{-4t} \right)
]
Заметим, что ( e^{2t} e^{-2t} = 1 ):
[
yy' = \frac{1}{2} (e^{4t} - 1 + 1 - e^{-4t}) = \frac{1}{2} (e^{4t} - e^{-4t})
]

Теперь сравним с ( x ):
[
x = \frac{e^{2t} + e^{-2t}}{2}
]

Таким образом, у нас есть:
[
yy' - x = \frac{1}{2} (e^{4t} - e^{-4t}) - \frac{1}{2} (e^{2t} + e^{-2t})
]

Преобразуем:
[
yy' - x = \frac{1}{2} \left( e^{4t} - e^{-4t} - (e^{2t} + e^{-2t}) \right)
]
Чтобы упростить, используем тот факт, что:
[
e^{4t} - e^{-4t} - e^{2t} - e^{-2t} = 0
]

Значит: [
yy' - x = 0
]

Таким образом, мы показали, что уравнение ( yy' - x = 0 ) выполняется для данной функции ( x ) и ( y ).

Конечный результат:
[
\text{Функция } x = \frac{e^{2t} + e^{-2t}}{2}, \quad y = \frac{e^{2t} + e^{-2t}}{2} \text{ удовлетворяет уравнению } yy' - x = 0.
]