Давайте решим задачу шаг за шагом.

Найдем углы треугольника. Углы относятся как 3:7:10. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Обозначим углы треугольника как (3x), (7x) и (10x):

[
3x + 7x + 10x = 180°
]
[
20x = 180°
]
[
x = 9°
]

Следовательно, углы:

(3x = 3 \cdot 9° = 27°)(7x = 7 \cdot 9° = 63°)(10x = 10 \cdot 9° = 90°)

Это означает, что у нас есть прямоугольный треугольник с углом 90°.

Определим длины сторон треугольника. Из условия известно, что большая сторона равна 5,6. Это гипотенуза треугольника (сторона, противолежащая прямому углу). Обозначим стороны, прилегающие к углам 27° и 63°, как (a) и (b), соответственно.

Используя соотношения в прямоугольном треугольнике:
[
\sin(27°) = \frac{a}{5,6}, \quad \cos(27°) = \frac{b}{5,6}
]
[
a = 5,6 \cdot \sin(27°), \quad b = 5,6 \cdot \cos(27°)
]

Теперь подставляем значения для синуса и косинуса:

(\sin(27°) \approx 0,4540)(\cos(27°) \approx 0,8480)

Следовательно:
[
a \approx 5,6 \cdot 0,4540 \approx 2,544
]
[
b \approx 5,6 \cdot 0,8480 \approx 4,7488
]

Найдем медиану, проведенную к большей стороне (гипотенузе). Формула для нахождения длины медианы (m), проведенной к стороне (c), равна:
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}
]
Подставляем (a), (b) и (c = 5,6):
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{2(2,544^2) + 2(4,7488^2) - (5,6^2)}
]

Сначала найдем квадрат сторон:
[
2,544^2 \approx 6,470736, \quad 4,7488^2 \approx 22,487158
]
[
5,6^2 = 31,36
]

Подставим значения в формулу:
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 6,470736 + 2 \cdot 22,487158 - 31,36}
]
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{12,941472 + 44,974316 - 31,36}
]
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{26,555788}
]
[
m \approx \frac{1}{2} \cdot 5,1556 \approx 2,5778
]

Таким образом, длина медианы, проведенной к большей стороне треугольника, составляет approximately 2,58.