Рассмотрим ромб ABCD, где AB = BC = CD = DA. Пусть длина стороны ромба равна ( a ).

По условию, ( BH ) перпендикулярно ( AD ) и ( AH = 5 ). Значит, отрезок ( AD = AH + HD ), где ( HD ) - это часть стороны ( AD ).

Угол ( ABH = 45^\circ ). Это означает, что треугольник ( ABH ) является прямоугольным. В нем можно использовать теорему Пифагора.

В треугольнике ( ABH ):

( AH = 5 ) (это высота),( AB = a ) (длина стороны ромба),( BH ) (это высота от ( B ) до ( AD )).

По теореме Пифагора:
[
AB^2 = AH^2 + BH^2
]
Подставим известные значения:
[
a^2 = 5^2 + BH^2
]
[
a^2 = 25 + BH^2 \quad (1)
]

Теперь, также знаем, что угол ( ABH = 45^\circ ). В этом случае, в треугольнике ( ABH ) выполняется:
[
\tan(45^\circ) = \frac{AH}{BH} = 1
]
Следовательно:
[
AH = BH \implies 5 = BH \quad (2)
]

Теперь подставим значение из уравнения (2) в уравнение (1):
[
a^2 = 25 + 5^2
]
[
a^2 = 25 + 25
]
[
a^2 = 50
]
[
a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
]

Теперь можем найти периметр и площадь ромба.

Периметр ( P{ABCD} ):
[
P{ABCD} = 4a = 4 \times 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}
]

Площадь ( S{ABCD} ):
Площадь ромба можно найти через половины произведения его диагоналей, но в данном случае мы можем использовать также формулу через сторону и высоту:
[
S = \text{(основание)} \times \text{(высота)}
]
В данной ситуации основание - это сторона ромба, то есть ( a ), а высота ( BH ):
[
S{ABCD} = a \cdot BH = (5\sqrt{2}) \cdot 5 = 25\sqrt{2}
]

Таким образом, мы имеем:

Периметр ( P_{ABCD} = 20\sqrt{2} )Площадь ( S_{ABCD} = 25\sqrt{2} )